Чернигин Аркадий Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОЛЯ В ЗУБЦОВОЙ ЗОНЕ РЕДУКТОРНЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ

Специальность 05.09.01 Электромеханика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж - 2000

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для решения проблем механизации и автоматизации производственных процессов требуется не только совершенствование существующих электроприводов, но и создание новых. Для значительной части технологических процессов необходимо использование электроприводов с низкими скоростями вращения, производство которых во многих случаях не обеспечивается современным электромашиностроением. Одним из путей решения данной проблемы является применение в электроприводах двигателей с электромагнитной редукцией скорости вращения, обеспечивающих получение низких скоростей без использования редукторов с зубчатым зацеплением. Это позволяет значительно повысить надежность и увеличить срок службы (до 50 тыс. часов и выше), уменьшить габариты и вес и снизить трудоемкость изготовления всего электропривода.

Особое внимание к таким машинам стало проявляться с начала 60-х годов, когда был разработан ряд базовых конструкций синхронных редукторных двигателей реактивного и возбужденного типа, их теория и методика проектирования, выполнен большой цикл теоретических и экспериментальных исследований. Большая заслуга в разработке теории и создании двигателей с электромагнитной редукцией скорости вращения принадлежит В.В. Жуловяну, П.Ю. Каасику, Ю.С. Чечету, В.С. Шарову, Ф.М. Юферову. Огромный вклад в теорию и практику конструирования двигателей с электромагнитной редукцией скорости вращения внес профессор А.С. Куракин (1929-1996гг.), сотрудничество с которым явилось основой данного исследования.

Потребность в машинах данного типа только для электроисполнительных механизмов, широко используемых в промышленности и сельском хозяйстве, составляет на сегодняшний день около миллиона штук в год. В 80-х годах она удовлетворялась только на 10%. В настоящее время в литературе обсуждаются проблемы создания и применения таких двигателей с мощностью от единиц ватт до сотен киловатт.

Главной особенностью всех конструкций редукторных электродвигателей является наличие на внутренних поверхностях статора и ротора развитой зубцовой зоны. В отличие от обычных электрических машин пазы статора и ротора раскрыты на половину зубцового деления как статора, так и ротора. Это позволяет создать амплитудную модуляцию магнитного потока полюсов обмотки питания и получить низкие скорости вращения ротора. Конструкция, энергетические показатели двигателя, скорость его ротора определяются, главным образом, величинами взаимодействующих гармоник поля в воздушном зазоре, которые, в свою очередь, зависят от конфигурации используемых зубцовых зон. Для полезного электромеханического преобразования энергии могут быть использованы только основные волны зубцовых полей с периодами, равными зубцовому делению статора и зубровому делению ротора. Высшие гармонические составляющие зубцового поля, как и в обычных электрических машинах, оказывают отрицательное влияние на процесс электромеханического преобразования энергии из-за непроизводительного рассеивания энергии, ухудшения пусковых и рабочих характеристик за счет увеличения потерь в стали, искажения механических характеристик провалами от дополнительных синхронных и асинхронных моментов и снижения равномерности вращения ротора.

Таким образом, решение проблемы синтеза формы зубцовой зоны, обеспечивающей оптимальный состав гармоник поля в воздушном зазоре, является актуальной задачей.

Данная диссертационная работа выполнялась в соответствии с планом научно-исследовательских работ Воронежского государственного аграрного университета по теме: “Разработка и исследование новых конструкций тихоходных электродвигателей”.

Цель и задачи исследования. Целью исследования являлось построение математической модели магнитного поля в зубчатом воздушном зазоре и разработка методики расчета, позволяющей определить такую геометрию зубцовой зоны, при которой высшие гармоники поля либо полностью отсутствуют, либо были бы значительно уменьшены при наибольшей амплитуде основной гармоники зубцового поля. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1.    разработать математические модели поля в зубцовой зоне при различной форме границ статора и ротора;

2.    провести исследование влияния геометрических параметров зубцовой зоны на амплитуды гармоник проводимости магнитного поля;

3.    разработать методику синтеза границы воздушного зазора, обеспечивающей создание поля с заданными параметрами.

В основу работы положена гипотеза о том, что исследуемое поле в области, образованной сложной системой границ, можно взаимно однозначно отразить на известное поле, создаваемое двумя плоскостями, являющимися одна продолжением другой и разделенными изолирующей линией (преобразование Шварца-Кристоффеля).

Методы исследования. Поставленные задачи работы решались методами математического моделирования статического магнитного поля на основе теории функций комплексного переменного, численного интегрирования, анализа Фурье и методов нелинейного программирования. Моделирование, экспериментальные исследования и их обработка проводились на ЭВМ.

Научная новизна полученных в ходе исследования результатов заключается в следующем:

1. получено аналитическое выражение интеграла Шварца-Кристоффеля для конформного преобразования верхней полуплоскости на внутренность бесконечного трапециевидного паза с произвольным наклоном стенки;

2. исследовано магнитное поле в воздушном зазоре, образованном трапециевидным пазом бесконечной ширины, и определены условия синтеза трапециевидного паза конечной ширины;

3. разработана методика приближенного вычисления интеграла Шварца-Кристоффеля и изучено поля в зазоре с симметричным треугольным пазом;

4. проведено исследование влияния скругления ребер пазов на гармонический состав проводимости магнитного поля в воздушном зазоре редукторного электродвигателя;

5. предложена методика синтеза границ зубцового слоя, обеспечивающих создание в воздушном зазоре поля с заданными параметрами.

Практическая значимость. Полученные теоретические и экспериментальные результаты диссертационной работы служат основой для проектирования зубцовых зон двигателей с электромагнитной редукцией скорости вращения и были использованы в 3 авторских свидетельствах и 1 патенте на изобретение.

Математические модели, реализованные в виде пакета программ, могут быть использованы и как составная часть САПР редукторных двигателей.

Защищаемые положения. На защиту выносятся:

1. основанная на методах нелинейного программирования методика определения формы зубцовой зоны редукторного двигателя, обеспечивающая создание в воздушном зазоре поля с заданными параметрами;

2. аналитическое выражение для конформного преобразования верхней полуплоскости на внутренность трапециевидного паза бесконечной ширины;

3. методика проведения конформного преобразования с использованием приближенного вычисления интеграла Шварца-Кристоффеля;

4. расчетные выражения геометрических параметров зубцовых зон.

Апробация работы. 14.Результаты работы докладывались и обсуждались на научных конференциях ВГАУ им. К.Д. Глинки (1983-99гг.), на Международной научно-технической конференции “Комплексное обеспечение точности автоматизированных производств” (г. Пенза, 1995г.).

Публикации. По результатам теоретических и экспериментальных исследований опубликовано 18 печатных работ, включая 3 авторских свидетельства и 1 патент.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав результатов работы и их обсуждения, заключения, списка литературы. Материал изложен на 135 страницах машинописного текста, содержит: 67 рисунков, 7 таблиц, список литературы из 92 наименований и 4 приложений.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель и задачи работы, показана научная новизна и практическая ценность, представлены защищаемые положения.

В первой главе проводится анализ современного состояния проблем конструирования зубцовых зон двигателей с электромагнитной редукцией скорости вращения (РД) и обосновывается постановка задачи исследования. Проанализированы различные варианты исполнения зубцовых зон РД и методики расчета их геометрических параметров.

Анализ существующих зубцовых зон РД показывает, что они ориентированы, в основном, на использование зубцов прямоугольной и трапециевидной формы как наиболее технологичные. Методики расчетов их геометрических параметров основываются либо на представлении о бесконечно глубоком пазе (Картер,1901г.) либо на приближенном решении методом сеток уравнения Лапласа для пазов конечной глубины.

Как показал проведенный анализ, не существует единого мнения ни о форме зубцовой зоны, ни о ее габаритах. Более того, результаты отдельных авторов часто противоречат друг другу. Так например, по таким основным параметрам как оптимальные ширина  и глубина  прямоугольного паза имеются рекомендации , ,  .

В гармонический состав проводимости поля в зубцовых зонах с П-образ-ной и трапециевидной геометрией кроме рабочих гармоник с периодами, равными зубцовым делениям статора и ротора, входят также гармоники высших порядков, что отрицательно сказывается на качестве преобразования энергии и снижает равномерность вращения ротора.

На основании проведенного анализа делается вывод о необходимости исследования влияния геометрических параметров зубцовой зоны на гармонический состав проводимости с целью определения оптимальной формы зубчатой поверхности. При построении моделей поля зубцовой зоне редукторных двигателей приняты следующие допущения:

- поле исследуется в условиях односторонней зубчатости (при гладком роторе (R) и зубчатом статоре (S) или, наоборот, при зубчатом роторе и гладком статоре), торцовые области ротора и статора находятся в бесконечности;

- дуга расточки гладкого статора и огибающая зубчатого ротора разворачиваются в прямые линии;

- поле моделируется на одном зубцовом делении , а в силу симметрии можно ограничиться половиной зубцового деления;

- магнитная проницаемость стали ;

- рассматривается квазистационарное плоско-параллельное поле.

Математическим аппаратом исследования поля был выбран метод отображения верхней полуплоскости с известным полем на внутренность многоугольника (интеграл Шварца-Кристоффеля). Он позволяет достаточно просто описать границы многоугольника, что дает возможность с единых позиций рассмотреть поле в исследуемой зоне при изменении ее формы.

Интеграл Шварца-Кристоффеля для такой зоны имеет вид:

           , где   и           (1)

         ,          , где         ,   (2)

где  Ln - комплексный логарифм - .

Напряженность поля в точке z=x+iy :  (3).

Условием, при котором возможно зеркальное отражение границы зазора для создания паза конечной ширины, является выполнение равенства  по всей высоте паза.

Результаты расчетов показывают, что при всех значениях угла наклона стенки паза, при малых величинах глубин паза hz~ d поле медленно перестраивается и становится однородным на расстояниях от края паза . По мере роста hz (до hz=100 d ) это расстояние снижается до значения ~3.8hp и ниже. Поле в зазоре относительно быстро становится равномерным у поверхностей ротора и статора и с ростом расстояния от ребра медленно сходится к равномерному в центре зазора.

Tаким образом, определены условия синтеза зубцовой зоны с конечными значениями ширины паза >7.5hp  и ширины зуба bz >6.5 d.

В процессе вычислительных экспериментов установлено, что на поверхности зубчатого статора в районе ребра паза наблюдается всплеск напряженности поля, который в реальных условиях при конечном значении магнитной проницаемости электротехнической стали приводит к насыщению материала и “выдавливанию” поля через боковую стенку в паз. Структура реального поля при этом не будет отвечать его математической модели (2,3).

С целью сохранения адекватности математической модели реальным условиям было введено скругление ребра паза, которое, по аналогии с (1) описывается следующим преобразованием:

                                        (4).

         , где        (5).

Управляя параметром a можно изменять длину участка скругления, параметр g влияет на характер скругления. Фактически происходит суммирование двух бесконечных трапециевидных пазов, смещенных по горизонтали, а эффект скругления достигается за счет нелинейности суммирования в интервале изменения . Вид скругления и соответствующее изменение поведения модуля напряженности на статоре при различных значениях параметра g представлены на рис.2 и 3. Аналитические выражения для интегралов в (4) аналогичны (2). Выражение (4) очевидно носит более общий характер, т.к. при g=0 описывается нескругленный паз.

Наличие скругления практически не сказывается на условии синтеза зуба: в этом случае однородное поле формируется по всей высоте зазора d на расстоянии ~2.0 d от точки начала скругления. Величина минимальной ширины синтезированного паза при оптимальной величине скругления ( g =6.0, рис. 3) уменьшается на 25% по сравнению с нескругленным пазом.

Наличие области с однородным полем в центре синтезированного паза обеспечивает максимальную деформацию поля в зазоре. Однако в этом случае отношение ширины паза к его глубине оказывается близким к 7.5, и более чем в 5 раз превышает рекомендации других авторов (Домбур, 1963).

Рис. 2. Изменение напряженности на статоре при различных значениях .

Рис. 3. Формы воздушного зазора в районе края зуба при различных значениях . YR - гладкий ротор, YS - зубчатый статор (0< a<1< b, q =60 o).

         Рис. 4. Пазы треугольной формы (R-гладкий ротор, S-зубчатый статор).

Аналитическое выражение для интегралов вида (6) неизвестно. Интеграл (6) является кроме того несобственным, имеет особенность при . Однако, он является сходящимся, что непосредственно следует из признака Коши, так как величина .

Известен метод вычисления подобных интегралов, позволяющий достигнуть нужной точности вычислений с минимальным количеством вычислений подинтегральной функции. На любом конечном интервале [a,b] интеграл ,       где f(t) не имеет особенностей на [a,b], может быть заменой переменных , при  приведен к виду: .

При условии, что  и  интеграл можно вычислить приближенно по следующей формуле:

         ,                                            (7)

где xk - совпадают с корнями многочлена Якоби , а коэффициенты Ak вычисляется по формуле:

Поскольку структура подинтегрального выражения для преобразования Шварца-Кристоффеля допускает его представление в виде (7), приближенное интегрирование возможно при соответствующем выборе количества узлов n. Интегрирование по формуле (7) оценивается как точное для произвольных многочленов степени  , для остальных случаев известна оценка остаточного члена, который быстро убывает с ростом . Для оценки конкретной величины n проводилось интегрирование по точной (2) и приближенной (7) формулам для трапециевидного паза бесконечной ширины. Установлено, что величина n~60 обеспечивает необходимую точность вычислений.

Проведенное исследование поведения поля под треугольным пазом показало:

1. поведение напряженности на гладкой поверхности ротора в основном определяется раскрытием паза  и в меньшей степени - углом наклона стенок паза q , что демонстрируется поведением величины деформации поля b (рис. 5);

2. анализ эквипотенциальных поверхностей, проходящих вблизи зубчатой границы показывает, что существует предельная величина проникновения поля в глубокий паз, что представлено на рис. 6 для  (потенциал ротора , cтатора );

3. эффективная глубина (рис. 7) П-образного паза в диапазоне раскрытий паза  и углов наклона стенок  лежит в интервале ;

Зазор с треугольным пазом при q=66 o (рис. 6) может служить хорошим приближением для трапециевидного паза при “оптимальной геометрии” (Куракин, 1983). На поверхности зубчатого статора в области ребра паза также наблюдаются всплески напряженности поля (аналогично рис.3 при g=0) . Это ограничивает область применения рассматриваемой математической модели предельным случаем . Скругление ребер пазов (рис. 8) позволяет избавиться от этого эффекта и описывается, по аналогии с (4), (5), математической моделью поля под треугольным пазом со скругленными ребрами (8), (9).

Рис. 5.Величина деформация поля  при различных углах наклона стенки паза.

Рис. 6. Эквипотенциальные поверхности для  при d .

Рис. 7. Эффективная глубина паза.

Преобразование Шварца-Кристоффеля для зазора с треугольным пазом со скругленными ребрами имеет вид:

            (8)

             (9)

При таком виде выражения для напряженности (при ) знаменатель в (9) не обращается в 0, и всплески напряженности бесконечно большой величины в данной модели отсутствуют. Константы, входящие в подинтегральное выражение определяются из системы уравнений:

1.

2.

3.