|
Министерство сельского хозяйства
РФ | ||
|
|
Пример решения задачи линейного программирования с помощью MS Excel
Хозяйство специализируется в полеводстве на производстве зерна, сахарной свеклы и подсолнечника. В с.-х. предприятии имеются 3200 га пашни, трудовые ресурсы в объеме 7000 чел.-дней и минеральные удобрения в объеме 15000 ц.д.в. Требуется найти такое сочетание посевных площадей, которое обеспечило бы получение максимума прибыли.
Следует также учесть, что
- площадь посева технических культур (сахарной свеклы и подсолнечника) не должна превышать 25% общей площади пашни;
- хозяйством заключен договор на продажу зерна в объеме 65000 ц.
Для разработки экономико-математической модели необходима подготовка входной информации (табл. 1).
Таблица 1
|
Показатели |
Сельскохозяйственные культуры | ||
|
зерновые |
сахарная свекла |
подсолнечник | |
|
Урожайность, ц/га |
26 |
275 |
18 |
|
Цена реализации 1 ц продукции, руб./ц. |
215 |
75 |
374 |
|
Стоимость товарной продукции с 1 га, тыс. руб. |
5,59 |
20,62 |
6,73 |
|
Затраты на 1 га: МДС, тыс. руб. |
2,7 |
12,7 |
3,1 |
|
труда, чел.-дней. |
1,5 |
4,5 |
1,5 |
|
минеральных удобрений, ц.д.в. |
2 |
15 |
2,3 |
|
Прибыль с 1 га, руб. |
2,89 |
7,93 |
3,63 |
За неизвестные примем площади посева сельскохозяйственных культур по видам:
X1 - зерновых культур
X2 - сахарной свеклы
X3 - подсолнечника
Для построения экономико-математической модели задачи необходимо учесть все условия. В данном случае, по этим условиям можно составить пять ограничений:
- сумма площадей посева сельскохозяйственных культур не должна превышать площади, имеющейся в хозяйстве (3200 га). Коэффициентами при неизвестных в этом ограничении характеризуют расход пашни на 1 га каждой сельскохозяйственной культуры. В данном случае технико-экономические коэффициенты по неизвестным будут равняться единице. В правой части записывается общая площадь пашни.
1) Х1+Х2+Х3<=3200
- сумма площадей посева технических культур не должна превышать площади, которая может быть отведена для этой цели (3200*0,25=800 га). Коэффициентами при неизвестных в этом ограничении характеризуют расход пашни, отведенной под посевы технических культур, на 1 га каждой технической сельскохозяйственной культуры. В данном случае технико-экономические коэффициенты по неизвестным Х2 и Х3 будут равняться единице, а по нетехническим сельскохозяйственным культурам (Х3) - нулю. В правой части записывается максимальная площадь пашни, которая может быть отведена под посевы технических культур.
2) Х2+Х3<=800
- третье и четвертое ограничения гарантируют, что использование трудовых ресурсов и минеральных удобрений не превысит их наличие в хозяйстве. Другими словами, сумма произведений норм затрат ресурсов на 1 га на площади посева соответствующих сельскохозяйственных культур не должна превышать объемов ресурсов, имеющихся в с.-х. предприятии. Коэффициентами при неизвестных в этих ограничениях будут являться нормы расхода ресурсов (в третьем ограничении – трудовых ресурсов, в четвертом – минеральных удобрений) на 1 га площади посева сельскохозяйственных культур. В данном случае технико-экономические коэффициенты взяты из таблицы 1. В правой части записывается наличие этих ресурсов в хозяйстве.
3) 1,5Х1+4,5Х2+1,5Х3<=7000
4) 2Х1+15Х2+2,3Х3<=15000
- пятое ограничение гарантирует производство запланированного объема зерна. В качестве коэффициентов при переменных выступает выход зерна с 1 га площади посева с.-х. культур. При неизвестной Х1 это урожайность зерновых (таблица 1). При переменных Х2 и Х3 этот коэффициент равен нулю. В правой части записывается план производства зерна.
5) 26Х1>=65000
В результате получена система пяти линейных неравенств с тремя неизвестными. Требуется найти такие неотрицательные значения этих неизвестных Х1>=0; Х2>=0; Х3>=0, которые бы удовлетворяли данной системе неравенств и обеспечивали получение максимума прибыли от отрасли растениеводства в целом:
Zmax = 2,89Х1+7,93Х2+3,53Х3
В качестве коэффициентов при неизвестных в целевой функции выступает прибыль, получаемая с 1 га площади посева сельскохозяйственных культур. Эти коэффициенты рассчитаны на основании данных таблицы 1.
Поскольку данная задача решается с помощью MS Excel, то и подготовку всей входной информации для построения экономико-математической модели целесообразно осуществлять также с использованием этого табличного процессора (рис 1). Это облегчает не только расчеты технико-экономических коэффициентов и других данных, но и дает в дальнейшем возможность автоматического обновления информации в экономико-математической модели.
Рисунок 1
Вся разработанная информация сводится в развернутую экономико-математическую модель и заносится в рабочий лист MS Excel. (Рис. 2.)
Рисунок 2
Данные в модель рекомендуется заносить в виде ссылок на ячейки с соответствующей информацией в расчетных рабочих листах или рабочих листах с исходными сведениями. На рисунке 3 показано, как в ячейке F9 представлена информация по норме затрат удобрений на 1 га посева подсолнечника.
Рисунок 3
В столбцы А («№»), В («Ограничения»), С («Единицы измерения») и H («Тип ограничений») вводятся соответствующие данные непосредственно в модель (рис.1). Они не используются в расчетах и служат для информативности и облегчения понимания содержания модели. В столбец I («Объем ограничений») вводятся ссылки на ячейки, содержащие соответствующую названию столбца информацию (значения правых частей построенных ранее неравенств).
Для искомых величин переменных Х1, Х2, Х3 нами были оставлены пустые ячейки - соответственно D5, E5, F5. Изначально пустые ячейки программа MS Excel воспринимает как ячейки, значение которых равно нулю. Столбец G, названный нами «Сумма произведений», предназначен для определения суммы произведений значений искомых неизвестных (ячейки D5, E5, F5) и технико-экономических коэффициентов по соответствующим ограничениям (строки 6-10) и целевой функции (строка 11). Таким образом, в столбце G определяется:
- - количество используемых ресурсов (ячейка G6 – общей площади пашни; G7 – пашни, которая может быть использована под посевы технических культур; G8 – трудовых ресурсов; G9 – минеральных удобрений);
- - количество произведенного зерна (ячейка G10);
- - величина прибыли (ячейка G11).
На рисунке 2 показано, как в ячейке G11 реализуется запись суммы произведений значений переменных (площадей посева с.-х. культур - ячейки D5, E5, F5) на соответствующие прибыли с 1 га их посева (ячейки D11, E11, F11) с помощью функции MS Excel «СУММПРОИЗВ». Так как при написании данной формулы использованы абсолютные адресации на ячейки от D5 до F5, эта формула может быть скопирована в другие ячейки от G6 до G10.
Таким образом, построен опорный план (рис. 2) и получено первое допустимое решение. Значения неизвестных Х1, Х2, Х3 равны нулю (ячейки D5, E5, F5 - пустые ячейки), ячейки столбца G «Сумма произведений» по всем ограничениям (строкам 6-10) и целевой строке (строка 11) также имеют нулевые значения.
Экономическая интерпретация первого опорного плана звучит следующим образом: в хозяйстве имеются ресурсы, рассчитаны все технико-экономические коэффициенты, но процесс производства еще не начат; ресурсы не использовались, и, соответственно, прибыли нет.
Для оптимизации имеющегося плана воспользуемся инструментом Поиск решения, который находится в меню Сервис. Если нет такой команды в меню Сервис, необходимо в пункте Надстройка поставить галочку напротив Поиск решения. После этого данная процедура станет доступной в меню Сервис.
После выбора данной команды появится диалоговое окно (рис. 4).
Рисунок 4
Поскольку в качестве критерия оптимизации нами выбрана максимизация прибыли, в поле Установить целевую ячейку введите ссылку на ячейку, содержащую формулу расчета прибыли. В нашем случае это ячейка $G$11. Чтобы максимизировать значение конечной ячейки путем изменения значений влияющих ячеек (влияющими, в данном случае это и изменяемые ячейки, являются ячейки, которые предназначены для хранения значений искомых неизвестных), переключатель установите в положение максимальному значению;
В поле Изменяя ячейки введите ссылки на изменяемые ячейки, разделяя их запятыми; либо, если ячейки находятся рядом, указывая первую и последнюю ячейку, разделяя их двоеточием ($D$5:$F$5).
В поле Ограничения введите все ограничения, накладываемые на поиск решения. Добавление ограничения рассмотрим на примере добавления первого ограничения по общей площади пашни.
В разделе Ограничения диалогового окна Поиск решения нажмите кнопку Добавить. Появится следующее диалоговое окно (рис. 5)
Рисунок 5
В поле Ссылка на ячейку введите адрес ячейки, на значение которой накладываются ограничения. В нашем случае, это ячейка $G$6, где находится формула расчета используемой пашни в текущем плане.
Выберите из раскрывающегося списка условный оператор <=, который должен располагаться между ссылкой и ограничением.
В поле Ограничение введите ссылку на ячейку, в которой находится значение наличия площади пашни в хозяйстве, либо ссылка на это значение. В нашем случае, это ячейка $I$6
В результате диалоговое окно примет следующий вид (рис. 6).
Рисунок 6
Чтобы принять ограничение и приступить к вводу нового, нажмите кнопку Добавить. Аналогично вводятся и другие ограничения. Чтобы вернуться в диалоговое окно Поиск решения, нажмите кнопку OK.
После выполнения вышеперечисленных инструкций диалоговое окно Поиск решения будет иметь следующий вид (рис. 7).
Рисунок 7
Для изменения и удаления ограничений в списке Ограничения диалогового окна Поиск решения укажите ограничение, которое требуется изменить или удалить. Выберите команду Изменить и внесите изменения либо нажмите кнопку Удалить.
Флажок Линейная модель в диалоговом окне Параметры Поиска решения (рис. 8) позволяет задать любое количество ограничений. Флажок Неотрицательные значения позволит соблюсти условие неотрицательности переменных (при решении нашей задачи – поставить обязательно). Остальные параметры можно оставить без изменений, либо установить нужные для вас параметры, при необходимости используя справку.
Рисунок 8
Для запуска задачи на решение нажмите кнопку Выполнить и выполните одно из следующих действий:
- чтобы сохранить найденное решение на листе, выберите в диалоговом окне Результаты поиска решения вариант Сохранить найденное решение (рис. 9);
- чтобы восстановить исходные данные, выберите вариант Восстановить исходные значения.
Рисунок 9
Для того чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу ESC.
Лист Microsoft Excel будет пересчитан с учетом найденных значений влияющих ячеек. В результате решения и сохранения результатов поиска на листе модель примет следующий вид (табл. 10).
Рисунок 10
В ячейках D5-F5 получены значения искомых неизвестных (площади посева равны: зерновых -2500 га, сахарной свеклы - 661 га, подсолнечника – 39 га), в ячейках G6-G9 определены объемы используемых ресурсов (общей площади пашни – 3200 га; площади пашни, которая может быть использована под посевы технических культур – 700 га; трудовых – 6781,9 чел.-дней; минеральных удобрений – 15000 ц.д.в.), в ячейке G10 установлено количество произведенного зерна (65000 ц.). При всех этих значениях величина прибыли достигает 12603,5 тыс. руб. (ячейка G11).
В случае если в результате поиска не было найдено решение, удовлетворяющее заданным условиям, в диалоговом окне Результаты поиска решения появится соответствующее сообщение (рис. 11).
Рисунок 11
Одной из наиболее часто встречающихся причин невозможности найти оптимальное решение является такая ситуация, когда в результате решения задачи выясняется, что имеются ограничения, которые не выполняются. Сохранив найденное решение на листе, требуется построчно сравнить полученные значения столбцов «Сумма произведений» и «Объем ограничений» и проверить, удовлетворяет ли отношение между ними ограничению, стоящему в столбце «Тип ограничений». Найдя, таким образом, невыполняемые ограничения необходимо найти и ликвидировать причины, обуславливающие невозможность соблюдения данного конкретного условия (это может быть, например, слишком большие или, наоборот, очень маленькие запланированные объемы ограничений и т.п.).
Если ограничений в модели очень много, то визуально достаточно трудно сравнивать и проверять на верность каждую строку. Для облегчения рекомендуется добавить в модель еще один столбец «Проверка», где с помощью функций MS Excel «ЕСЛИ» и «ОКРУГЛ» можно организовать автоматическую проверку (рис. 12).
Рисунок 12